こんにちは！
エマ（SNSはこちら）です。
今回は、「賭ケグルイ双」に登場した「スリーヒットダイス」について、実際に計算して検証した記事です。
本記事は派生記事となっておりますので、
先に元記事をご覧いただくことをおすすめします！
スリーヒットダイスとは？ルールと特徴
基本ルール
スリーヒットダイスは、ディーラーが振るサイコロの出目を予想するギャンブルです。
出目は1, 2, 3をDown（D）、4, 5, 6をUp（U）として扱います。
プレイヤーはUまたはDの3つの組み合わせを予想し、予想した組み合わせが先に出た方が勝ちとなります。
よくある疑問
作中では、「先に発生する確率」を考えたとき、UUUよりUUDの方が有利だと説明されています。
これは直感的には分かりにくいですが、実際に期待値を計算すると納得できます。
期待値計算の詳細
なぜUUUよりUUDの方が有利なのか？
前の記事では直感的な説明をしましたが、今回は期待値の計算を通してその理由を解説します。
期待値計算の方法とは？
期待値の計算を始めよう
スリーヒットダイスにおける期待値を計算してみましょう。
ここでは、計算に「行列」と「無限級数の和」を使用します。
状態の設定
期待値を求めるには、まず「ちょうど●回目に的中する確率」を計算する必要があります。
そのために、以下の5つの状態を定義します。
定義する5つの状態
A: まだ的中せず、直近2回の出目がUU
B: まだ的中せず、直近2回の出目がUD
C: まだ的中せず、直近2回の出目がDU
D: まだ的中せず、直近2回の出目がDD
P: 予想値が的中
状態遷移の仕組み
予想が的中する状態Pを一旦無視すると、状態は確率1/2で遷移します。
予想値を考慮した遷移
例えば、UUUを予想していた場合、状態の遷移は以下のようになります。
状態ごとの確率と行列表現
状態ごとの確率の定義
n回サイコロを振った時点で、それぞれの状態が発生する確率を以下のように定義します。
ここでは、$n \geqq 2$ とします。
確率の定義
a(n): n回目のサイコロ投擲時点で未的中かつ直近2回の出目がUUである確率
b(n): n回目のサイコロ投擲時点で未的中かつ直近2回の出目がUDである確率
c(n): n回目のサイコロ投擲時点で未的中かつ直近2回の出目がDUである確率
d(n): n回目のサイコロ投擲時点で未的中かつ直近2回の出目がDDである確率
p(n;予想値): n回目のサイコロ投擲時点で初めて予想値が的中する確率
初期条件
このとき、n=2の段階では以下のようになります。
$$a(2) = b(2) = c(2) = d(2) = 1/4 \\
p(2; 予想値) = 0$$
列ベクトルの定義
ここで、列ベクトル $\boldsymbol{x}(n; 予想値)$ を以下のように定義します。
$$
\boldsymbol{x}(n; 予想値) = \begin{bmatrix}
a(n) \\ b(n) \\ c(n)
\\ d(n) \\ p(n; 予想値)
\end{bmatrix}
$$
状態遷移と確率の行列表現
例えば、予想値がUUUである場合、確率の関係は次のようになります。
$$
\begin{split}
a(n+1) &= c(n) / 2 \\
b(n+1) &= a(n) /
2 + c(n) / 2 \\
c(n+1) &= b(n) / 2 + d(n) / 2 \\
d(n+1) &=
b(n) / 2 + d(n) / 2 \\
p(n+1; UUU) &= a(n) / 2
\end{split}
$$
これを行列 $\boldsymbol{A}(予想値)$ で表すと、例えば $\boldsymbol{A}(UUU)$ は以下のようになります。
$$
\boldsymbol{A}(UUU) = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1/2 & 0
& 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\
0 & 1/2
& 0 & 1/2 & 0 & \\
0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0
& \\
1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
行列の計算
こうすることで、次のように表現できます。
$$
\boldsymbol{x}(n+1; 予想値) = \boldsymbol{A}(予想値) \boldsymbol{x}(n;予想値)
$$
このとき、予想値の表記を省略し、$$
\boldsymbol{x}(n+1) = \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(n)
$$ とします。
試行回数が増えた場合
試行回数が増えて $n \to \infty$ となると、 $\boldsymbol{x}(n) \to \boldsymbol{0}$ になると考えられます。
これは、試行回数が増えると的中して終了する確率が高まり、
「まだ成立していない」状態の確率は徐々に減少していくからです。
期待値の計算方法を詳しく解説
期待値の求め方
求める期待値の計算方法を整理しておきましょう。
「ちょうど $n$ 回目に予想が的中する確率 $ p(n)$」 を用いて、期待値は以下の式で表されます。
$$
\sum_{k=3}^{\infty} k p(k)
$$
これはすなわち、以下の式の5行目の成分を求めればよいことになります。
$$
\sum_{k=2}^{\infty} k \boldsymbol{x}(k)
$$
ただし $p(2) = 0$ なので影響はありません。
計算上の都合のため、式に加えて考えます。
無限級数の計算
そのままの和について
まず $\boldsymbol{x}(n)$ の総和について考えます。
以下のように定義します。
$$
\boldsymbol{S}(n) = \sum_{k=2}^{n} \boldsymbol{x}(k)
$$
ここで、$\boldsymbol{S}(n)$ は以下のように表されます。
$$
\boldsymbol{S}(n) =
\boldsymbol{x}(2) +
\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(2) +
\ldots +
\boldsymbol{A}^{n-2}\boldsymbol{x}(2)
$$
両辺に左から $\boldsymbol{A}$ を掛けると、次のようになります。
$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{S}(n) =
\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(2)
+
\boldsymbol{A}^2\boldsymbol{x}(2) +
\ldots +
\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{x}(2)
$$
両辺の引き算をすると、次のようになります。
$$
\begin{split}
(\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) \boldsymbol{S}(n)
&=
\boldsymbol{x}(2) -
\boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{x}(2)
\\
&= \boldsymbol{x}(2) - \boldsymbol{x}(n+1)
\end{split}
$$
ここで $n \to \infty$ とすると、
$$
(\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) \boldsymbol{S}(\infty) =
\boldsymbol{x}(2)
$$
さらに、$(\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})$ に逆行列が存在すれば、
$$
\boldsymbol{S}(\infty) = (\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})^{-1}
\boldsymbol{x}(2)
$$
と表せます。
回数を掛けた和について
続いて、 $n\boldsymbol{x}(n)$ の総和を考えます。
$$
\boldsymbol{T}(n) = \sum_{k=2}^{n} k \boldsymbol{x}(k)
$$
$\boldsymbol{T}(n)$ は次のように表されます。
$$
\boldsymbol{T}(n) =
2 \boldsymbol{x}(2) +
3
\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(2) +
\ldots
n
\boldsymbol{A}^{n-2}\boldsymbol{x}(2)
$$
両辺に左から $\boldsymbol{A}$ を掛けると、次のようになります。
$$
\boldsymbol{A} \boldsymbol{T}(n) =
2
\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}(2) +
3 \boldsymbol{A}^2\boldsymbol{x}(2)
+
\ldots
n \boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{x}(2)
$$
両辺の引き算をすると、次のようになります。
$$
\begin{split}
(\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) \boldsymbol{T}(n)
&=
2 \boldsymbol{x}(2) +
\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}(2) +
\boldsymbol{A}^2
\boldsymbol{x}(2) +
\ldots +
\boldsymbol{A}^{n-2}\boldsymbol{x}(2)
-
n \boldsymbol{A}^{n-1}\boldsymbol{x}(2) \\
&=
\boldsymbol{x}(2) + \boldsymbol{S}(n) - n \boldsymbol{x}(n+1)
\end{split}
$$
ここで $n \to \infty$ とすると、
$$
(\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) \boldsymbol{T}(\infty) =
\boldsymbol{x}(2) + \boldsymbol{S}(\infty)
$$
さらに、$(\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})$ に逆行列が存在すれば、
$$
\begin{split}
\boldsymbol{T}(\infty) =
(\boldsymbol{E}
- \boldsymbol{A})^{-1} \{\boldsymbol{x}(2) + \boldsymbol{S}(\infty) \}\end{split}
$$
これはさらに展開でき、
$$
\begin{split}
\boldsymbol{T}(\infty) = (\boldsymbol{E} -
\boldsymbol{A})^{-1} \{\boldsymbol{E} + (\boldsymbol{E} -
\boldsymbol{A})^{-1} \} \boldsymbol{x}(2)
\end{split}
$$
と表せます。
実際の期待値を求めてみよう
実際の期待値は $\boldsymbol{T}(\infty)$ の5行目の成分です。
実際に $\boldsymbol{A}$ の値を代入して計算してみましょう。
予想値が UUU の場合
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1/2 & 0
& 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\
0 & 1/2
& 0 & 1/2 & 0 & \\
0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0
& \\
1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{T}(\infty) = \begin{bmatrix}
18 & 30 & 26
& 30 & 0 \\
26 & 48 & 40 & 46 & 0 \\
30
& 56 & 48 & 56 & 0 \\
30 & 56 & 48 & 56 &
0 \\
10 & 16 & 14 & 16 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 26 \\ 40 \\ 95/2 \\ 95/2 \\ 14 \end{bmatrix}
$$
計算の結果、期待値は14 となります。
つまり、UUU が的中するまでの試行回数の期待値は 14 です。
予想値が UUD の場合
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
1/2 & 0 & 1/2 & 0
& 0 \\
0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\
0 & 1/2 &
0 & 1/2 & 0 & \\
0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 &
\\
1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{T}(\infty) = \begin{bmatrix}
6 & 18 & 14
& 18 & 0 \\
0 & 10 & 6 & 8 & 0 \\
0 & 14
& 10 & 14 & 0 \\
0 & 14 & 8 & 16 & 0 \\
4
& 10 & 8 & 10 & 2
\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/4 \\
1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \\ 0 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 14 \\ 6 \\ 19/2 \\
19/2 \\ 8 \end{bmatrix}
$$
計算の結果、期待値は8 となります。
つまり、UUD が的中するまでの試行回数の期待値は 8 です。
予想値が UDU の場合
$$
\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix}
1/2 & 0 & 1/2 & 0
& 0 \\
1/2 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\
0 & 0 &
0 & 1/2 & 0 & \\
0 & 1/2 & 0 & 1/2 & 0 &
\\
0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}
$$
$$
\boldsymbol{T}(\infty) = \begin{bmatrix}
20 & 12 & 18
& 22 & 0 \\
18 & 14 & 18 & 22 & 0 \\
12
& 10 & 14 & 18 & 0 \\
22 & 18 & 22 & 32 &
0 \\
10 & 8 & 10 & 12 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} 1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \\ 1/4 \\ 0 \end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix} 18 \\ 18 \\ 27/2 \\ 47/2 \\ 10 \end{bmatrix}
$$
計算の結果、期待値は10 となります。
つまり、UDU が的中するまでの試行回数の期待値は 10 です。
まとめ
スリーヒットダイスは、ディーラーが振る3つのダイスの出目を予想するシンプルながら奥深いゲームです。
確率上はどの組み合わせも同じように見えますが、実際には「2個+1個」の組み合わせの方が有利であることが分かりました。
この違いの理由は、「先に出現する確率」にあります。
期待値を考慮すると、UUUのような3連続のパターンよりも、UUDのように異なる出目を含む方が早く成立しやすいのです。
確率計算や期待値の考え方を活用すれば、ギャンブルやゲームの戦略をより深く理解することができます。
スリーヒットダイスのようなシンプルなルールでも、奥深い数学的要素が隠れているのは興味深いですね。
この記事が参考になれば幸いです。
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